Mês: Janeiro 2010

Porque não se pode alcançar a velocidade da luz?

Como este ano(para o Words'\:of\:Physic) é dedicado a Albert Einstein, deixo-vos aqui mais um post sobre relatividade.

Porque não se pode alcançar a velocidade da luz?

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Segundo a relatividade restrita a massa varia em função da velocidade segundo a função:

m(v)=m_0\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

Estudando a função e fazendo a velocidade tender para a velocidade da luz(c).

\displaystyle \lim_{v \to c}m(v)=\lim_{v \to c}(m_0\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}})

\Rightarrow m_0\frac{1}{\sqrt{1-c^2/c^2}})=\frac{m_0}{0}=\infty [1]

Segundo a equivalência de massa energia.

E=mc^2; substituindo [1]

E=\infty \times c^2

\Leftrightarrow E=\infty

Como não existe energia infinita no Universo inteiro concluímos que nada pode atingir a velocidade da luz.

Será que o Pai Natal existe?

Olá hoje irei analisar “fisicamente” o Pai Natal!

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1 – As crianças.

Existem aproximadamente 2 biliões de crianças (pessoas com menos de 18 anos).

Como o Pai Natal é católico e não visita crianças de outras religiões restam-nos 378 milhões de crianças.

Segundo os censos existem cerca de 4 crianças em cada lar logo:

\frac{378000000}{4}=94500000 de lares.

2- Tempo.

Devido ao fuso-horário e á rotação da Terra o Pai Natal têm cerca de 31 horas para entregar todos os presentes.

31\:h=31\times 60\times 60\:s=111600\:s

Assim se dividirmos o numero de lares pelo tempo que ele têm para entregar os presentes teremos o número de visitas por segundo.

\frac{94500000}{111600}=847\:visitas/segundo

E também que ele só poderá dispender 0.001 segundos para sair do trenó, descer pela chaminé, colocar o presente e voltar ao trenó

3- Velocidade

Admitindo que as casas se encontram uniformemente distribuídas(o que é falso mas é aceitável para a simplificação dos cálculos) e que o Pai Natal só entrega os presentes nos continentes europeu e americano, podemos calcular a distancia entre cada lar.

Área da Europa + Área da América = Área total

10498000+42189120= 52687120\quad Km

\frac{94500000}{52687120}=1.8\:casas/Km

Assim

distancia\:percorrida=1.8\times 94500000=1.8\times10^8\quad km

Como R_m=\frac{d}{\Delta{t}}

\Rightarrow \frac{1.8\times10^8}{111600}=1524.2\quad km/s

Como num movimento uniforme onde não existe inversão do sentido a rapidez media é igual a velocidade:

v=1524200\quad m/s Assim ele teria de viajar a uma velocidade muito superior ao veiculo mais rápido construído pelo Homem, a sonda espacial Ulisses,
move-se a acanhados 44100 m/s, e uma rena “normal” anda no máximo a 24km/h.

4- Força

Ele viaja a uma velocidade de 1524200 m/s e para ele parar será aplicada uma aceleração contraria ao movimento logo

v=v_0-at Como pára para v=0

v_0=atv_0=1.5\times 10^6 e t=0.001\: segundos

a=1.5\times 10^9\quad m/s^2

Admitindo que o Pai Natal tem uma massa de 150 Kg

F_r=ma=1.5\times 10^9 \times 150=228630000000\quad N

Com uma força destas o Pai Natal seria esmagado completamente.

4-Conclusão.

Se o Pai Natal existiu está morto.

A maçã de Newton!

Olá hoje irei publicar um artigo com a dedução da famosa equação da gravidade elaborada por Issac Newton.

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Uma maneira prática de o fazer e estudar o movimento dos planetas.

tr

Vermelho Estrela A

Verde Planeta B

F_{resultanteA/B}=Fc

\Rightarrow F_{resultanteA/B}==m_B\frac{v^2}{r}

\Leftrightarrow F_{resultanteA/B}=m_B\frac{4\pi^2r}{T^2}; v^2=\omega^2r^2

Usando a 3º Lei de Kepler:

\frac{r^3}{T^2}=K

\Leftrightarrow T^2=\frac{r^3}{K} substituindo:

F_{resultanteA/B}=\frac{4\pi^2rK_A}{r^3}

\Leftrightarrow F_{resultanteA/B}=\frac{4\pi^2K_A}{r^2}m_B [1]

Como |F_{resultanteA/B}|=|F_{resultanteB/A}|

\Leftrightarrow \frac{4\pi^2K}{r^2}m_B=\frac{4\pi^2K}{r^2}m_A

\Leftrightarrow \frac{4\pi^2K_A}{m_A}=\frac{4\pi^2K_B}{m_B}

Assim concluísse que \frac{4\pi^2K_A}{m_A} é constante para quaisquer corpos em interacção gravitacional sendo esta constante G

Logo:

\frac{4\pi^2K_A}{m_A}=G

4\pi^2K_A=Gm_A Substituindo em [1]:

\Leftrightarrow F_{resultanteA/B}=G\frac{m_A m_B}{r^2}

E assim chegamos a Lei Universal da Gravitação…

Um pouco de matemática.

Olá depois de algumas recomendações decidi escrever um conjunto de artigos sobre matemática que irão vos ajudar a compreender melhor os outros artigos.

Hoje irei explicarei um pouco cálculo diferencial.

Derivadas

Imaginemos a função:

f(x)=x^2+2x+1

Que tem como gráfico:

graph

Como poderíamos calcular a equação da reca tangente a este gráfico no ponto (x_0,f(x_0))

graph2

O declive dessa recta é dado por:

\displaystyle{\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}

Definição de derivada de uma função num ponto:

Significado geométrico.

Chama-se derivada da função f no ponto x_0 ao limite, quando existir, da razão \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} quando h tende para zero.

Esta derivada representasse por: f'(x_0), (\frac{df}{dx}) ou Df_x=x_0

Geometricamente, tem-se que:

A derivada de uma função num ponto x_0 é o declive, m, da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa, x_0

Taxa de variação

 A taxa média de variação de uma função f num intervalo [a,b] é dado por:

t.m.v_[a,b]=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

A taxa de variação instantânea ou taxa de variação de uma função no ponto x=a é dada por:

\displaystyle{\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}; ou seja a derivada da função no ponto a.

Porque a Lua não têm atmosfera?

Bem, de certeza que já ouviram dizer que a lua não possui atmosfera. Mas a que se deverá este facto?! Deixo-vos aqui uma pequena explicação…equ

 image

Para que algo escape da superfície terá de ter uma certa velocidade (ver). Esquecendo o movimento de rotação da lua.

\frac{1}{2}m_{atmosfera}v^2=\frac{Gm_{Lua}m_{atmosfera}}{r^2} Onde v é a velocidade da atmosfera e r o raio da Lua

v=\sqrt{\frac{2Gm_{Lua}}{r^2}}[1]

Como a atmosfera e composta por gás podemos utilizar a equação da energia cinética de um gás.

Ec=\frac{3}{2}kT Onde k é a constante de Boltzman e T a temperatura.

\frac{1}{2}m_{atmosfera}{v_{1}}^2=\frac{3}{2}kT

{v_{1}}=\sqrt{\frac{3kT}{m_{atmosfera}}}[2]

Assim podemos calcular a massa maxima de atmosfera que a lua pode ter.

Aplicando os valores em [1]:

v=\sqrt{\frac{2\times6,67 \times 10^{-11} \times 7,349\times 10^{22}}{{1737400}^2}}

v=3.2\quad m/s

Substituindo em [2]

3.2=\sqrt{\frac{3kT}{m_{atmosfera}}}

{3.2}^2m_{atmosfera}=3\times 1.38\times10^{-23}\times 380.15

m_{atmosfera}=1.54\times10^{-21}\quad kg

Como a massa é muito pequena que a Lua apenas poderá ter uma quantidade muito muito muito pequena de gás não podem ter atmosfera.

Grande Defesa!

Olá mais uma vez, agora vou vós apresentar um post muito simples sobre momentum e defesas no futebol.

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Imaginemos que um jogador de futebol remata a bola com um velocidade (\vec{v}) qual seria está velocidade da bola para que o guarda-redes entrasse dentro da baliza.

Uma das mais importantes lei da física e que a conservação do momentum ou seja:

\Delta{p}=0 \Leftrightarrow p`-p=0 \Leftrightarrow p`=p Sendo p o momentum antes da colisão e p’ O momentum após a colusão.

Como o guarde-redes se encontra parado v_{guarda-resdes}=0 Logo p_{guarda-redes}=0

E admitindo que depois da colisão o guarda-redes e a bola saem à mesma velocidade.

m_{bola}v_{bola}=(m_{bola}+m_{guarda-redes})v`

v_{bola}=\frac{m_{bola}+m_{guarda-redes}}{m_{bola}}v` Admitindo que o guarde-redes tem uma massa de 75 kg e que ele e a bola saem a uma velocidade,após a colusão, de 3 m/s

v_{bola}=3\frac{75+m_{bola}}{m_{bola}}

Depois de uma pesquisa encontrei que uma bola de futebol da Nike tem uma massa de 0.4348 kg(aqui)

v_{bola}=3\frac{75+0.4348}{0.4348}

v_{bola}=520.5\quad m/s

O jogador teria de remata a bola a 520.5 m/s o que é impensável para uma pessoa.

(Este artigo é dedicado a um amigo que hoje faz anos e que joga no SCBraga. Parabéns!)

Que idade tem o Universo?

Bem… Hoje apresentar-vos-ei como poderemos calcular a idade do Universo.

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Sabendo que a Lei de Hubble relaciona a velocidades das galáxias com a sua distancia à Terra:

v_{afastamento}=Hr[1] onde H é a constante de Hubble e r a distancia à Terra;

Como v=\frac{\Delta{r}}{\Delta{t}} como \Delta{r}=r\:,\:\Delta{t}=t\:e\:v=v_{afastamento}

v_{afastamento}=\frac{r}{t} Aplicando em [1]

Hr=\frac{r}{t} \Leftrightarrow t=H^{-1} H=73km/s/Mpc = 2,5×10-18 segundos(Fonte: aqui)

t=13 \times 10^9\quad anos

E assim calculamos a idade aproximada do Universo.