pendulo

O Homem-Aranha!

Olá caros leitores hoje irei vós apresentar um estudo sobre o movimento do Homem-Aranha.

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Quem não se lembra de ver o Homem-Aranha a balançar por entre os prédios de Nova Iorque? Pois bem, para relembrar um pouco os tempos de criança vou propor um problema e a sua solução.

Imaginemos que o Homem-aranha vê a sua Mary Jane em apuros quanto tempo levara ele a chegar até ela sabendo que balança apenas num prédio?

fisica homem aranha

Dados:

Massa do Homem-Aranha m

Quando passa em B está a uma altura h

A teia tem um comprimento l

A distancia na  horizontal de C a D é Z

A é uma posição extrema.

C não é uma posição extrema.

O angulo AB~=\theta e o angulo BC=\alpha

E sabemos que de A a C o movimento pode ser tratado como um pêndulo simples e que de C a D como um movimento parabólico.

Analisando o movimento de A a C;

\sum \vec{F}=m\vec{a} \Leftrightarrow m\vec{g}+\vec{T}=m\vec{a}

Decompondo o movimento nas suas componentes tangencial e normal ou seja x e y

spider pendulo

*Ver nota

Verificamos que:

Segundo o eixo dos yy

P_y +T=m{a}_y [1]

Segundo o eixo dos xx

P_x=m{a}_x [2]

Sendo a trajectória de A a C igual a s

a_x= \frac{d^2s}{dt^2} substituindo em [2]

P_x=m\frac{d^2s}{dt^2} [3]

A esfera descreve um arco de circunferência de comprimento s ao realizar o seu
movimento. A posição em cada instante pode ser escrita em função do raio da trajectória, l, e
da posição angular \theta:

s= l\theta substituindo em [3]

P_x=m\frac{d^2}{dt^2}{l\theta} sendo P_x=P\sin(\theta)

P\sin{(\theta)}=m\frac{d^2{\theta}}{dt^2}{l}

\Leftrightarrow mg\sin{(\theta)}=m\frac{d^2{\theta}}{dt^2}{l}

\Leftrightarrow g\sin{(\theta)}=\frac{d^2{\theta}}{dt^2}{l}

\Leftrightarrow \frac{g}{l}\sin{(\theta)}-\frac{d^2{\theta}}{dt^2}=0

Se o angulo \theta for pequeno podemos considerar a aproximação \sin{(\theta)}=\theta

\frac{g}{l}\theta-\frac{d^2{\theta}}{dt^2}=0 [4]

Para pequenas oscilações o pêndulo irá se comportar como uma mola obedecendo a lei de Hooke e como se trata de um movimento harmónico simples a equação [4] vai ter uma solução do tipo:

\theta(t)=\cos{(\omega_0{t}+\varphi)} [5] com \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}

Para calcular k:

Segundo a lei de Hooke F=-kx como F=P_x e x\approx s

mg\sin{(\theta)}=-ks; \sin{(\theta)}=\theta

\Leftrightarrow mg\theta=-ks; s=l\theta

\Leftrightarrow k=\frac{mg}{l} aplicando em [5] e \varphi=0

\theta(t)=\cos{(\sqrt{\frac{g}{l}}{t})} na posição \alpha

\alpha=\cos{(\sqrt{\frac{g}{l}}{t})}

\sqrt{\frac{g}{l}}{t}=\arccos{(\alpha)}

{\huge t=\frac{\arccos{(\alpha)}}{\sqrt{\frac{g}{l}}}}

Assim podemos calcular o tempo que ele demora a percorrer o trajecto de A a C

Para o trajecto de C a D iremos trata-lo como um projéctil (ver post aqui)

Comecemos por calcular a velocidade em C

smp

Energia mecânica em A = Energia mecânica em C

E_{cineticaA}+E_{potencialA}=E_{cineticaC}+E_{potencialC}

\frac{1}{2}mv^2_A+mgh_A=\frac{1}{2}mv^2_C+mgh_C;  Como A e uma posição extrema v_A=0

mgh_A=\frac{1}{2}mv^2_C+mgh_C

gh_A=\frac{1}{2}v^2_C+gh_C [6]

Calcular a altura de A e de C:

h_A=p+h e h_C=r+h

p=l-L_1 e \cos{(\theta)}=\frac{L_1}{l}\Leftrightarrow l\cos{(\theta)}=L_1

p=l-l\cos{(\theta)}

Fazendo a mesma coisa para h_C

r=l-l\cos{(\alpha)} logo;

h_A=l-l\cos{(\theta)}+h e h_C=l-l\cos{(\alpha)}+h aplicando em [6]

g[(l-l\cos{(\theta)})+h]=\frac{1}{2}v^2_C+g[(l-l\cos{(\alpha)})+h]

g[(l-l\cos{(\theta)})+h]-g[(l-l\cos{(\alpha)})+h]=\frac{1}{2}v^2_C

gh+gp-(gh+gr)=\frac{1}{2}v^2_C

gp-gr=\frac{1}{2}v^2_C

g(p-r)=\frac{1}{2}v^2_C

v^2_C={2}g(p-r)

v=\sqrt{2g(p-r)} [7]

Calcular o ângulo da velocidade \beta:

kkk

Pela analise da imagem concluísse que \beta=\alpha

Assim segundo a lei das posições para o eixo dos xx

x=x_0+v_{0x}t_1\Leftrightarrow x=x_0+v\cos{(\alpha)}t_1

\Leftrightarrow x-x_0=v\cos{(\alpha)}t_1 como x-x_0=Z e aplicando [7]

Z=\sqrt{2g(p-r)}\cos{(\alpha)}t\Leftrightarrow t_1=\frac{Z}{\sqrt{2g(p-r)}\cos{(\alpha)}}

Por fim descobrimos que o tempo que o Homem-Aranha leva para chegar até a Mary Jane é:

t_{total}= t+t_1

t_{total}=\frac{\arccos{(\alpha)}}{\sqrt{\frac{g}{l}}}+\frac{Z}{\sqrt{2g(p-r)}\cos{(\alpha)}}

*Nota: A Laranja a Tensão (\vec{T})

A Amarelo o Peso(\vec{P})

A azul o Peso segundo o eixo dos yy (\vec{P_y})

A verde o Peso segundo o eixo dos xx (\vec{P_x})