Mês: Novembro 2009

Leis dos Movimentos. (2ª Parte)

Olá agora irei vos apresentar as equações que regem o movimento rectilíneo uniforme mente variado.

Imaginemos agora um corredor dos 100 metros, ele inicia a corrida com um movimento acelerado até atingir a velocidade máxima aos 80 m, passando, ai, a efectuar um movimento uniforme até final da corrida. Como poderemos calcular o tempo que demorou a percorrer os 100 m

A fórmula para calcular a aceleração média é:

\vec{a_{m}} = \frac{\vec{v}-\vec{v_{0}}}{{\Delta}{t}}

Resolvendo em ordem à velocidade final (\vec{v}) fica

\vec{v} = \vec{v_{0}}+\vec{a_{m}}{\Delta}{t};

No limite quando {\Delta}{t} tende para 0

\vec{v}(t) = \vec{v_{0}}+\vec{a}{t}

Sabendo que \frac{d{\vec{r}}}{dt}=\vec{v} basta fazer a operação inversa, isto é, integrar, para obter a expressão que nos permite calcular a lei das posições quando existe movimento uniformemente variado.

\vec{r}(t)= \int \vec{v}{}{dt}=\int (\vec{v_{0}}+\vec{a}{t}){dt} =\int \vec{v_{0}}{dt}+\int \vec{a}{t}{dt} =\vec{v_{0}}{t} + {c_{1}} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2} +{c_{2}}=

=\vec{v_{0}}{t} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2} +{C} fazendo t = 0 vem

\vec{r}(0)=\vec{v_{0}}{0} +\frac{\vec{a}{0^2}}{2} +{C}

= \vec{r}(0)= {C} logo concluísse que C é igual à posição inicial ou seja

\vec{r}(t)= \vec{r_{0}} + \vec{v_{0}}{t} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2}

E assim chegamos a equação que nos permite calcular o tempo na primeira parte do movimente ou seja até aos 80m.

Para o movimento a partir dos 80m basta utilizar a equação deduzida no post anterior (para ver o post clique aqui .)

\vec{r} = \vec{r_{0}} + \vec{v}{t}

Assim o tempo que o atleta demora a percorrer os 100 m e dado por:

\vec{r}_{total}= \vec{r}_{0/80}+\vec{r}_{80/100} \Leftrightarrow

\vec{r}_{total} = \vec{r_{0}} + \vec{v_{0}}{t} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{v}_{80}{t}

Como \vec{r_{0}} = 0 e \vec{v_{0}} = 0

\vec{r}_{total} = \frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{v}_{80}{t} [1]

Da lei das velocidades vem:

\vec{v}(t) = \vec{v_{0}}+\vec{a}{t} aplicando no contexto do problema;

\vec{v}_{80}=\vec{a}{t} substituindo em [1];

\vec{r}_{total} = \frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{a}{t}{t}

\vec{r}_{total} = \frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{a}{t^2}

\vec{r}_{total}=\vec{r_{80}}+\frac{{3}\vec{a}{t^2}}{2} como \vec{r}_{total}= 100 e \vec{r}_{80}= 80

100=80+\frac{{3}\vec{a}{t^2}}{2} \Leftrightarrow 20=\frac{{3}\vec{a}{t^2}}{2}\Rightarrow

t=\sqrt{\frac{40}{{3}{\vec{a}}}} Assim, chegamos a expressão que nos permite calcular o tempo que o atleta demora a percorrer os 100m

Leis do Movimento. (1ª Parte)

Olá a todos, neste artigo irei apresentar-vos algumas das principais equações da dinâmica no movimento rectilíneo uniforme.

Imaginemos uma aranha uma parede de uma casa. Como a poderíamos localizar?

aranha

Para responder a está pergunta os físicos utilizam um mecanismo matemático chamado referencial. Ora veja…

aranha(r)

Este referencial tem origem no canto inferior esquerdo da janela, e podemos ver que a aranha se encontra na posição (3,1)

Agora imaginemos que a aranha  começa a deslocar-se, a uma velocidade constante , até que ao fim de algum tempo para. Como podemos saber a sua nova posição?

aranha(velocidade)

Sabemos que a velocidade é dada por:

\vec{v_{m}} = \frac{\vec{r}-\vec{r_{0}}}{{\Delta}{t}} ; reescrevendo a formula em ordem a \vec{r}

\vec{r} = \vec{r_{0}} + \vec{v_{m}}{\Delta}{t} ; no limite \vec{v_{m}} = \vec{v} e {\Delta}{t} = t

\vec{r} = \vec{r_{0}} + \vec{v}{t}

Assim chegamos à equação que nós permite responder a esse pergunta.

Por exemplo: Admitamos que a aranha se encontra na na posição (3,1) segundo o referencial de cima, e se deslocou durante 5 segundos com uma velocidade constante de \vec{v} =3 \vec{\imath} +3\vec{\jmath}

Substituindo os valores na equação(para cada coordena) temos;

\vec{x} = \vec{x_{0}} + \vec{v_{x}}{t}\Rightarrow

x = 3 + {3}\times{5}\Leftrightarrow x = 18

\vec{y} = \vec{y_{0}} + \vec{v_{y}}{t}\Rightarrow

y = 1 + {3}\times{5}\Leftrightarrow y = 16

A  aranha irá encontrarsse na posição (18,16)