Mecanica quantica

Electrões e Planetas

E se um electrão se comportasse como um planeta descrevendo orbitas circulares em volta do núcleo?

Hoje irei apresentar um pequeno estudo do comportamento do electrão se este descrevesse uma orbita circular envolta do núcleo.

Sem título

\sum{F}=Forca\:electrica(F_e)

F=F_e

\Leftrightarrow F=k\frac{q_1q_2}{R^2} Como q_1=q_2=e

F=k\frac{e^2}{R^2}

Como se trata de um movimento circular F_e=F_c=m\frac{v^2}{R}

m\frac{v^2}{R}=k\frac{e^2}{R^2}

\Leftrightarrow v^2=k\frac{e^2}{Rm} [1]

Como segunda a mecânica quântica toda a partícula têm um comprimento de onda associado segundo a expressão \lambda=\frac{h}{p}

Como o electrão será uma onda estacionaria o seu comprimento de onde será \lambda=2\pi n onde n é um numero natural

Aplicando as 2 formulas:

2\pi n=\frac{h}{p} \Leftrightarrow p=\frac{h}{2\pi}n[2]

Como o electrão descreve uma orbita circular o seu momento é dado por p=mvR aplicando em [2]

mvR=\frac{h}{2\pi}n resolvendo em ordem a v

v=\frac{h}{2\pi mR}n Apicando em [1]

\frac{h^2}{4{\pi}^2m^2R^2}n^2=k\frac{e^2}{Rm} resolvendo em ordem a R

R=\frac{h^2}{4{\pi}^2mke^2}n^2 Para n= 1 temos o menor raio da orbital(R_0) e assim o local mais próximo do núcleo onde poderemos encontrar o electrão.

Substituindo os valores:

R_0=0.529\times 10^{-8}\quad cm

 

Nota:Esta dedução foi feita por Neils Bohr e tratasse de uma explicação semi-clássica do átomo só valida para o átomo de Hidrogénio

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