Lei de Hooke

Salto para a piscina!

Olá aqui vai mais um problema. Desta vez o problema consiste em calcular a distancia a que um nadador ao saltar da prancha alcança na piscina.

piscina

 

Dados:

Massa do nadador, m

Altura de A, 3,5\:metros

Altura de B em relação a A, 0.5\:metros

Distancia entre A e B é x

O ângulo A^B é \alpha

Sabemos que o nadador efectua um primeiro salto, sem balançar a prancha, até à altura C e que logo após da posição B passa a estar em movimento de projéctil.

 

Comecemos por calcular x

Energia\: mecanica\:em\:C=Energia\: mecanica\:em\:B

\Leftrightarrow \frac{1}{2}mv^2_C+mgh_C= \frac{1}{2}mv^2_B+mgh_B como v_C=0

\Rightarrow mgh_C=\frac{1}{2}mv^2_B+mgh_Bh_C=0.5\:metros 

\Rightarrow 0.5g=\frac{1}{2}v^2_B+gh_B; Distancia AB é x e como o referencial tem origem em A

\Rightarrow 0.5g=\frac{1}{2}v^2_C-gx

\Leftrightarrow 0.5g+gx=\frac{1}{2}v^2_B

\Leftrightarrow g(0.5+x)=\frac{1}{2}v^2_B

\Leftrightarrow 0.5+x=\frac{1}{2g}v^2_B

\Leftrightarrow x=\frac{1}{2g}v^2_B-0.5 [1]

A prancha irá se comportar como uma mola e por consequência irá obedecer à lei de Hooke.

F=-kx\quad com\;x=distancia\:A\:B aplicando [1]

F=-k(\frac{1}{2g}v^2_B-0.5)

\Leftrightarrow F=k(0.5-\frac{1}{2g}v^2_B) Como F_{resultante}=F

\Rightarrow ma=k(0.5-\frac{1}{2g}v^2_B)

\Leftrightarrow a=\frac{k}{m}(0.5-\frac{1}{2g}v^2_B) [2] utilizando a lei das velocidades (ver post aqui)

\Rightarrow v=v_{A2}+at_1[3] sendo v_{A2} a velocidade em A depois de passar em C

Calcular a velocidade v_{A2}

Energia\:mecanica\:em\:C=Energia\:mecanica\:em\:A

\Leftrightarrow \frac{1}{2}mv^2_C+mgh_C=\frac{1}{2}mv^2_{A2}+mgh_A como h_A=0

\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2_C+mgh_C=\frac{1}{2}mv^2_{A2}; v_C=0

\Rightarrow mgh_C=\frac{1}{2}mv^2_{A2}

\Leftrightarrow gh_C=\frac{1}{2}v^2_{A2}

\Rightarrow 0.5g=\frac{1}{2}v^2_{A2}

\Leftrightarrow 2(0.5g)=v^2_{A2}

\Leftrightarrow g=v^2_{A2}

\Rightarrow v_{A2}=\sqrt{g} aplicando em [3]

\Rightarrow v=\sqrt{g}+at_1[4] sento t_1 o tempo de aplicação da força F

Como logo após a posição B ele passa a estar em movimento de projéctil:

x=x_0+v_{0x}t

\Leftrightarrow x=x_0+v\cos({\beta})t[5] sendo \beta o ângulo da velocidade.

Calcular o ângulo \beta

angulo piscina

*ver nota

Pela analise da imagem concluísse que \beta=90-\alpha aplicando em [5]

x=x_0+v\cos({90-\alpha})t

Até agora apenas analisamos o movimento em x analisando agora em y:

y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}{g}{t^2}

\Rightarrow 3.5=v\sin({90-\alpha})t-\frac{1}{2}{g}{t^2} como \sin({90-\alpha})=\cos({\alpha})

\Leftrightarrow 3.5=v\cos({\alpha})t-\frac{1}{2}{g}{t^2}

Aplicamos a formula resolvente para obter o t, eu por uma questão de simplificação vou chamar a solução positiva Z

Aplicamos agora na equação de x

x=x_0+v\cos({90-\alpha})Z como \cos({90-\alpha})=\sin({\alpha})

x=x_0+v\sin({\alpha})Z; x_0=0

x=v\sin({\alpha})Z  aplicando [4]

x=(\sqrt{g}+at_1)\sin({\alpha})Z Como a=\frac{k}{m}(0.5-\frac{1}{2g}v^2_B) equação [2]

x=(\sqrt{g}+[\frac{k}{m}(0.5-\frac{1}{2g}v^2_B)]t_1)\sin({\alpha})Z

E assim chegamos à expressão que nos da a distancia a que ele mergulha na piscina!

Nota: A azul está representado o vector velocidade.