A Diversão de Obama!

Olá, hoje irei vós apresentar um problema sobre o mais importante dos chefes de estado mundiais o Presidente Obama.

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Imaginemos que o Sr. Obama vai se divertir para um parque de diversões e resolve andar na montanha russa.

Obama diversão

Será esta viagem segura sabendo que:

O ponto A está a uma altura de 17 metros

O centro do “loop”(z) está a uma altura de 6.5 metros

O percurso AE e FG é realizado com o atrito desprezável

O ponto F está a uma altura de 7 metros e que ele tem de parar neste ponto.

O percurso EF é constituído por um material com coeficiente de atrito 1.9

O percurso GH foi construído com o mesmo material de EF e tem uma distancia de 5 metros.

Para averiguar se a viagem é segura temos de saber se não ele cai na posição C, onde a probabilidade de cair é maior, se chega a F com velocidade 0 e se pára dentro da distância GH.

O carrinho cairá na posição C?

Diagrama de forças em C:

Obama forças

Laranja – Força centrípeta (F_c)

Amarelo – Força Peso (P)

Verde – Força Normal (N)

\sum{\vec{F}}=\vec{P}+\vec{N} \Rightarrow F_c=P+N

Ele cairá se N=0 então

F_c=P

\Rightarrow m\frac{v^2}{R}=mg 

\Leftrightarrow \frac{v^2}{R}=g

\Leftrightarrow v^2=gR

\Rightarrow v^2=9.8\times6.5

\Leftrightarrow v^2=63.7

\Rightarrow v=\sqrt{63.7}

\Leftrightarrow v=8\:m/s

Assim concluimos que ele cai se ele tiver uma velocidade igual ou menor a 8 m/s.

Calcular a velocidade em C

Como no trajecto AE o atrito é desprezável podemos fazer:

Energia\:mecanica\:em\:A=Energia\:mecanica\:em\:C

\Leftrightarrow E_{cA}+E_{pA}=E_{cC}+E_{pC} como E_{cA}=0

\Rightarrow E_{pA}=E_{cC}+E_{pC}

\Leftrightarrow mgh_A=\frac{1}{2}m{v_C}^2+mgh_C

\Leftrightarrow gh_A=\frac{1}{2}{v_C}^2+gh_C

\Rightarrow 9.8\times17=\frac{1}{2}{v_C}^2+9.8\times13

\Leftrightarrow 166.6=\frac{1}{2}{v_C}^2+127.4

\Leftrightarrow 166.6-127.4=\frac{1}{2}{v_C}^2

\Leftrightarrow 39.2=\frac{1}{2}{v_C}^2

\Leftrightarrow 39.2\times2={v_C}^2

\Rightarrow {v_C}=\sqrt{78.4}

\Rightarrow {v_C}=8.9

Como v_C>v concluímos que ele não cai e que o trajecto AE é seguro.

Agora vamos verificar se ele chega a F com velocidade 0

Calcular a velocidade em E

Em_A=Em_E

\Leftrightarrow mgh_A=\frac{1}{2}m{v_E}^2

\Leftrightarrow gh_A=\frac{1}{2}{v_E}^2

\Leftrightarrow 2gh_A={v_E}^2

\Rightarrow 2\times9.8\times17={v_E}^2

\Leftrightarrow 333.2={v_E}^2

\Rightarrow v_E=\sqrt{333.2}

\Rightarrow v_E=18.2\:m/s

Analisando o esquema de forças:

obama oblicuo

  Amarelo a Força de atrito (\vec{Fa})

  Laranja a Força Peso (\vec{P})

  Roxo a Força Peso segundo o y (\vec{Py})

  Rosa a Força Peso segundo o x (\vec{Px})

 

 

 

 

 

\sum{\vec{F}}=\vec{P}+\vec{N}+\vec{Fa} \Rightarrow F=Px+Fa

F=P\cos(\alpha)+\mu_cN Como N=Py

\Rightarrow F=P\cos(\alpha)+\mu_cP\sin(\alpha)

\Leftrightarrow F=mg\cos(\alpha)+\mu_cmg\sin(\alpha)

\Leftrightarrow a=g\cos(\alpha)+\mu_cg\sin(\alpha)

\Leftrightarrow a=g(\cos(\alpha)+\mu_c\sin(\alpha)) Substituindo os valores.

\Rightarrow a=9.8(\cos(37)+1.9\times\sin(37))

\Leftrightarrow a\approx18.8\:m/s^2

Aplicando a equação de Torricelli:

v^2=v_0^2-2a\Delta{x}

v^2=v_0^2-2(19)\Delta{x}; Como \Delta{x}=\frac{7}{\cos({37})}=8.8m

v^2=18.2^2-2(19)\times8.8

v^2\approx0

Assim concluísse que o trajecto AG é seguro.

Agora vamos ver se ele para dentro do trajecto GH

Diagrama de forças:

obama recta

A Amarelo a Força Normal

A vermelho o Peso

A laranja a força de atrito

 

 

 

 

Fr=Fa \Leftrightarrow ma=\mu_cN

\Leftrightarrow ma=\mu_cmg

\Leftrightarrow a=\mu_cg

\Rightarrow a=18.62\:m/s^2

Calcular a velocidade em G

Em_F=Em_G

\Leftrightarrow mgh_F=\frac{1}{2}mv_G^2

\Rightarrow 2\times7\times9.8=v_G^2

\Rightarrow v_G=\sqrt{137.2}

\Leftrightarrow v_G=11.7\:m/s

Aplicando a formula de Torricelli:

v^2=11.7^2-2\times18.62\Delta{x};  Para ele parar a velocidade final tem de ser 0

37.24\Delta{x}=137

\Delta{x}=3.8

Como 3.8<5 verificamos que o Sr.Presidente teve uma viagem segura!

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