O remate de Cristiano Ronaldo!

Olá pessoal. Hoje irei vos apresentar um pequeno problema relacionado com o futebol e mais concretamente com a nossa estrela O Cristiano Ronaldo!

Como chegar a expressão que nos permite calcular o ângulo com que a bola deve ser batida para que seja golo num livre directo?

Dados:

Distancia da bola à baliza: x

Altura da barreira: y

Altura a que a bola entra: z

Velocidade a que Ronaldo remata a bola: v_0

Analisando o esquema podemos concluir que o movimento da bola pode ser composto em 2 componentes uma segundo o eixo dos xx e outra segundo o eixo dos yy

Analisemos, agora cada uma dos suas componentes:

Segundo o eixo dos xx não existe nenhuma força a actuar portanto F_x=ma_x \Leftrightarrow \frac{0}{m}=a_x \Leftrightarrow a_x=0

Concluimos assim que o movimento no eixo dos xx é uniforme e a sua equação é:

x=x_0 + v_{0x}{t}

Segundo o eixo dos yy existe a força peso a actuar, neste caso com sentido negativo, portanto F_y=ma_y \Leftrightarrow \frac{-P}{m}=a_y \Leftrightarrow a_y=-g

Agora separemos a velocidade nas suas componentes:

\vec{v}_0 = \vec{v}_{0x}+ \vec{v}_{0y}

v_{0x} = v_o\cos {\alpha}

v_{oy} =v_0\sin{\alpha}

Recorrendo à lei das posições:

Para x:

x=v_{0x}t \Leftrightarrow x=v_o\cos {\alpha}t

Para y:

y=v_{0y}t -\frac{1}{2}{g}{t^2} \Leftrightarrow y=v_0\sin{\alpha}t -\frac{1}{2}{g}{t^2}

Como o tempo para x e para y têm de ser os mesmos e resolvendo a primeira equação em ordem a t:

t=\frac{x}{v_0\cos{\alpha}} substituindo na equação do y:

y=x\tan{\alpha} -\frac{1}{2}{g}\frac{x^2}{{v_0}^2\cos^2{\alpha}}

Como nós queremos a que altura final seja z fica;

z=x\tan{\alpha} -\frac{1}{2}{g}\frac{x^2}{{v_0}^2\cos^2{\alpha}} ;   \tan^2{\alpha}+1=\frac{1}{\cos^2{\alpha}}

z=x\tan{\alpha} -\frac{1}{2}{g}x^2(1+\tan^2{\alpha}) ; fazendo k=\frac{1}{2}{g}\frac{x^2}{{v_0}^2}

z=x\tan{\alpha} -k-k\tan^2{\alpha}; Fazendo -k-z=C e aplicando a formula resolvente vem:

\tan{\alpha}=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-{4}{-k}{C}}}{-{k}{C}}

\alpha =\arctan({\frac{-x\pm\sqrt{x^2-{4}{-k}{C}}}{-{k}{C}}})

E assim podemos calcular o angulo com que ele remata a bola desde que saibamos a a distância à baliza, a altura a que a bola entra e a velocidade com que ele a rematou.

Nota: Para  o angulo ser o correcto temos de verificar se com esse angulo a bola passa a cima da barreira, utilizando as formulas:

Para x:

x=v_{0x}t \Leftrightarrow x=v_o\cos {\alpha}t

Para y:

y=v_{0y}t -\frac{1}{2}{g}{t^2} \Leftrightarrow y=v_0\sin{\alpha}t -\frac{1}{2}{g}{t^2}

Sendo x a distancia da barreira e y a altura da barreira.

Advertisements

2 comments

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s