Leis dos Movimentos. (2ª Parte)

Olá agora irei vos apresentar as equações que regem o movimento rectilíneo uniforme mente variado.

Imaginemos agora um corredor dos 100 metros, ele inicia a corrida com um movimento acelerado até atingir a velocidade máxima aos 80 m, passando, ai, a efectuar um movimento uniforme até final da corrida. Como poderemos calcular o tempo que demorou a percorrer os 100 m

A fórmula para calcular a aceleração média é:

\vec{a_{m}} = \frac{\vec{v}-\vec{v_{0}}}{{\Delta}{t}}

Resolvendo em ordem à velocidade final (\vec{v}) fica

\vec{v} = \vec{v_{0}}+\vec{a_{m}}{\Delta}{t};

No limite quando {\Delta}{t} tende para 0

\vec{v}(t) = \vec{v_{0}}+\vec{a}{t}

Sabendo que \frac{d{\vec{r}}}{dt}=\vec{v} basta fazer a operação inversa, isto é, integrar, para obter a expressão que nos permite calcular a lei das posições quando existe movimento uniformemente variado.

\vec{r}(t)= \int \vec{v}{}{dt}=\int (\vec{v_{0}}+\vec{a}{t}){dt} =\int \vec{v_{0}}{dt}+\int \vec{a}{t}{dt} =\vec{v_{0}}{t} + {c_{1}} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2} +{c_{2}}=

=\vec{v_{0}}{t} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2} +{C} fazendo t = 0 vem

\vec{r}(0)=\vec{v_{0}}{0} +\frac{\vec{a}{0^2}}{2} +{C}

= \vec{r}(0)= {C} logo concluísse que C é igual à posição inicial ou seja

\vec{r}(t)= \vec{r_{0}} + \vec{v_{0}}{t} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2}

E assim chegamos a equação que nos permite calcular o tempo na primeira parte do movimente ou seja até aos 80m.

Para o movimento a partir dos 80m basta utilizar a equação deduzida no post anterior (para ver o post clique aqui .)

\vec{r} = \vec{r_{0}} + \vec{v}{t}

Assim o tempo que o atleta demora a percorrer os 100 m e dado por:

\vec{r}_{total}= \vec{r}_{0/80}+\vec{r}_{80/100} \Leftrightarrow

\vec{r}_{total} = \vec{r_{0}} + \vec{v_{0}}{t} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{v}_{80}{t}

Como \vec{r_{0}} = 0 e \vec{v_{0}} = 0

\vec{r}_{total} = \frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{v}_{80}{t} [1]

Da lei das velocidades vem:

\vec{v}(t) = \vec{v_{0}}+\vec{a}{t} aplicando no contexto do problema;

\vec{v}_{80}=\vec{a}{t} substituindo em [1];

\vec{r}_{total} = \frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{a}{t}{t}

\vec{r}_{total} = \frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{a}{t^2}

\vec{r}_{total}=\vec{r_{80}}+\frac{{3}\vec{a}{t^2}}{2} como \vec{r}_{total}= 100 e \vec{r}_{80}= 80

100=80+\frac{{3}\vec{a}{t^2}}{2} \Leftrightarrow 20=\frac{{3}\vec{a}{t^2}}{2}\Rightarrow

t=\sqrt{\frac{40}{{3}{\vec{a}}}} Assim, chegamos a expressão que nos permite calcular o tempo que o atleta demora a percorrer os 100m

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