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O Homem-Aranha!

20 12 2009

Olá caros leitores hoje irei vós apresentar um estudo sobre o movimento do Homem-Aranha.

Quem não se lembra de ver o Homem-Aranha a balançar por entre os prédios de Nova Iorque? Pois bem, para relembrar um pouco os tempos de criança vou propor um problema e a sua solução.

Imaginemos que o Homem-aranha vê a sua Mary Jane em apuros quanto tempo levara ele a chegar até ela sabendo que balança apenas num prédio?

Dados:

Massa do Homem-Aranha $m$

Quando passa em B está a uma altura $h$

A teia tem um comprimento $l$

A distancia na horizontal de $C$ a $D$ é $Z$

$A$ é uma posição extrema.

$C$ não é uma posição extrema.

O angulo $AB~=\theta$ e o angulo $BC=\alpha$

E sabemos que de $A$ a $C$ o movimento pode ser tratado como um pêndulo simples e que de $C$ a $D$ como um movimento parabólico.

Analisando o movimento de $A$ a $C$ ;

$\sum \vec{F}=m\vec{a} \Leftrightarrow m\vec{g}+\vec{T}=m\vec{a}$

Decompondo o movimento nas suas componentes tangencial e normal ou seja $x$ e $y$

*Ver nota

Verificamos que:

Segundo o eixo dos $yy$

$P_y +T=m{a}_y$ [1]

Segundo o eixo dos $xx$

$P_x=m{a}_x$ [2]

Sendo a trajectória de $A$ a $C$ igual a $s$

$a_x= \frac{d^2s}{dt^2}$ substituindo em [2]

$P_x=m\frac{d^2s}{dt^2}$ [3]

A esfera descreve um arco de circunferência de comprimento $s$ ao realizar o seu
movimento. A posição em cada instante pode ser escrita em função do raio da trajectória, $l$ , e
da posição angular $\theta$ :

$s= l\theta$ substituindo em [3]

$P_x=m\frac{d^2}{dt^2}{l\theta}$ sendo $P_x=P\sin(\theta)$

$P\sin{(\theta)}=m\frac{d^2{\theta}}{dt^2}{l}$

$\Leftrightarrow mg\sin{(\theta)}=m\frac{d^2{\theta}}{dt^2}{l}$

$\Leftrightarrow g\sin{(\theta)}=\frac{d^2{\theta}}{dt^2}{l}$

$\Leftrightarrow \frac{g}{l}\sin{(\theta)}-\frac{d^2{\theta}}{dt^2}=0$

Se o angulo $\theta$ for pequeno podemos considerar a aproximação $\sin{(\theta)}=\theta$

$\frac{g}{l}\theta-\frac{d^2{\theta}}{dt^2}=0$ [4]

Para pequenas oscilações o pêndulo irá se comportar como uma mola obedecendo a lei de Hooke e como se trata de um movimento harmónico simples a equação [4] vai ter uma solução do tipo:

$\theta(t)=\cos{(\omega_0{t}+\varphi)}$ [5] com $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Para calcular $k$ :

Segundo a lei de Hooke $F=-kx$ como $F=P_x$ e $x\approx s$

$mg\sin{(\theta)}=-ks$ ; $\sin{(\theta)}=\theta$

$\Leftrightarrow mg\theta=-ks$ ; $s=l\theta$

$\Leftrightarrow k=\frac{mg}{l}$ aplicando em [5] e $\varphi=0$

$\theta(t)=\cos{(\sqrt{\frac{g}{l}}{t})}$ na posição $\alpha$

$\alpha=\cos{(\sqrt{\frac{g}{l}}{t})}$

$\sqrt{\frac{g}{l}}{t}=\arccos{(\alpha)}$

${\huge t=\frac{\arccos{(\alpha)}}{\sqrt{\frac{g}{l}}}}$

Assim podemos calcular o tempo que ele demora a percorrer o trajecto de $A$ a $C$

Para o trajecto de $C$ a $D$ iremos trata-lo como um projéctil (ver post aqui)

Comecemos por calcular a velocidade em $C$

Energia mecânica em $A$ = Energia mecânica em $C$

$E_{cineticaA}+E_{potencialA}=E_{cineticaC}+E_{potencialC}$

$\frac{1}{2}mv^2_A+mgh_A=\frac{1}{2}mv^2_C+mgh_C$ ; Como $A$ e uma posição extrema $v_A=0$

$mgh_A=\frac{1}{2}mv^2_C+mgh_C$

$gh_A=\frac{1}{2}v^2_C+gh_C$ [6]

Calcular a altura de A e de C:

$h_A=p+h$ e $h_C=r+h$

$p=l-L_1$ e $\cos{(\theta)}=\frac{L_1}{l}\Leftrightarrow l\cos{(\theta)}=L_1$

$p=l-l\cos{(\theta)}$

Fazendo a mesma coisa para $h_C$

$r=l-l\cos{(\alpha)}$ logo;

$h_A=l-l\cos{(\theta)}+h$ e $h_C=l-l\cos{(\alpha)}+h$ aplicando em [6]

$g[(l-l\cos{(\theta)})+h]=\frac{1}{2}v^2_C+g[(l-l\cos{(\alpha)})+h]$

$g[(l-l\cos{(\theta)})+h]-g[(l-l\cos{(\alpha)})+h]=\frac{1}{2}v^2_C$

$gh+gp-(gh+gr)=\frac{1}{2}v^2_C$

$gp-gr=\frac{1}{2}v^2_C$

$g(p-r)=\frac{1}{2}v^2_C$

$v^2_C={2}g(p-r)$

$v=\sqrt{2g(p-r)}$ [7]

Calcular o ângulo da velocidade $\beta$ :

Pela analise da imagem concluísse que $\beta=\alpha$

Assim segundo a lei das posições para o eixo dos $xx$

$x=x_0+v_{0x}t_1\Leftrightarrow x=x_0+v\cos{(\alpha)}t_1$

$\Leftrightarrow x-x_0=v\cos{(\alpha)}t_1$ como $x-x_0=Z$ e aplicando [7]

$Z=\sqrt{2g(p-r)}\cos{(\alpha)}t\Leftrightarrow t_1=\frac{Z}{\sqrt{2g(p-r)}\cos{(\alpha)}}$

Por fim descobrimos que o tempo que o Homem-Aranha leva para chegar até a Mary Jane é:

$t_{total}= t+t_1$

$t_{total}=\frac{\arccos{(\alpha)}}{\sqrt{\frac{g}{l}}}+\frac{Z}{\sqrt{2g(p-r)}\cos{(\alpha)}}$

*Nota: A Laranja a Tensão $(\vec{T})$

A Amarelo o Peso $(\vec{P})$

A azul o Peso segundo o eixo dos $yy$ $(\vec{P_y})$

A verde o Peso segundo o eixo dos $xx$ $(\vec{P_x})$

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Tags: desenhos-animados, fisicar, Homem-Aranha, Mary Jane, pendulo, spider-man
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