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A Diversão de Obama!

27 12 2009

Olá, hoje irei vós apresentar um problema sobre o mais importante dos chefes de estado mundiais o Presidente Obama.

Imaginemos que o Sr. Obama vai se divertir para um parque de diversões e resolve andar na montanha russa.

Será esta viagem segura sabendo que:

O ponto A está a uma altura de 17 metros

O centro do “loop”(z) está a uma altura de 6.5 metros

O percurso AE e FG é realizado com o atrito desprezável

O ponto F está a uma altura de 7 metros e que ele tem de parar neste ponto.

O percurso EF é constituído por um material com coeficiente de atrito 1.9

O percurso GH foi construído com o mesmo material de EF e tem uma distancia de 5 metros.

Para averiguar se a viagem é segura temos de saber se não ele cai na posição C, onde a probabilidade de cair é maior, se chega a F com velocidade 0 e se pára dentro da distância GH.

O carrinho cairá na posição C?

Diagrama de forças em C:

Laranja – Força centrípeta ( $F_c$ )

Amarelo – Força Peso ( $P$ )

Verde – Força Normal ( $N$ )

$\sum{\vec{F}}=\vec{P}+\vec{N} \Rightarrow F_c=P+N$

Ele cairá se $N=0$ então

$F_c=P$

$\Rightarrow m\frac{v^2}{R}=mg$

$\Leftrightarrow \frac{v^2}{R}=g$

$\Leftrightarrow v^2=gR$

$\Rightarrow v^2=9.8\times6.5$

$\Leftrightarrow v^2=63.7$

$\Rightarrow v=\sqrt{63.7}$

$\Leftrightarrow v=8\:m/s$

Assim concluimos que ele cai se ele tiver uma velocidade igual ou menor a 8 m/s.

Calcular a velocidade em $C$

Como no trajecto AE o atrito é desprezável podemos fazer:

$Energia\:mecanica\:em\:A=Energia\:mecanica\:em\:C$

$\Leftrightarrow E_{cA}+E_{pA}=E_{cC}+E_{pC}$ como $E_{cA}=0$

$\Rightarrow E_{pA}=E_{cC}+E_{pC}$

$\Leftrightarrow mgh_A=\frac{1}{2}m{v_C}^2+mgh_C$

$\Leftrightarrow gh_A=\frac{1}{2}{v_C}^2+gh_C$

$\Rightarrow 9.8\times17=\frac{1}{2}{v_C}^2+9.8\times13$

$\Leftrightarrow 166.6=\frac{1}{2}{v_C}^2+127.4$

$\Leftrightarrow 166.6-127.4=\frac{1}{2}{v_C}^2$

$\Leftrightarrow 39.2=\frac{1}{2}{v_C}^2$

$\Leftrightarrow 39.2\times2={v_C}^2$

$\Rightarrow {v_C}=\sqrt{78.4}$

$\Rightarrow {v_C}=8.9$

Como $v_C>v$ concluímos que ele não cai e que o trajecto AE é seguro.

Agora vamos verificar se ele chega a F com velocidade 0

Calcular a velocidade em E

$Em_A=Em_E$

$\Leftrightarrow mgh_A=\frac{1}{2}m{v_E}^2$

$\Leftrightarrow gh_A=\frac{1}{2}{v_E}^2$

$\Leftrightarrow 2gh_A={v_E}^2$

$\Rightarrow 2\times9.8\times17={v_E}^2$

$\Leftrightarrow 333.2={v_E}^2$

$\Rightarrow v_E=\sqrt{333.2}$

$\Rightarrow v_E=18.2\:m/s$

Analisando o esquema de forças:

Amarelo a Força de atrito ( $\vec{Fa}$ )

Laranja a Força Peso ( $\vec{P}$ )

Roxo a Força Peso segundo o y ( $\vec{Py}$ )

Rosa a Força Peso segundo o x ( $\vec{Px}$ )

$\sum{\vec{F}}=\vec{P}+\vec{N}+\vec{Fa} \Rightarrow F=Px+Fa$

$F=P\cos(\alpha)+\mu_cN$ Como $N=Py$

$\Rightarrow F=P\cos(\alpha)+\mu_cP\sin(\alpha)$

$\Leftrightarrow F=mg\cos(\alpha)+\mu_cmg\sin(\alpha)$

$\Leftrightarrow a=g\cos(\alpha)+\mu_cg\sin(\alpha)$

$\Leftrightarrow a=g(\cos(\alpha)+\mu_c\sin(\alpha))$ Substituindo os valores.

$\Rightarrow a=9.8(\cos(37)+1.9\times\sin(37))$

$\Leftrightarrow a\approx18.8\:m/s^2$

Aplicando a equação de Torricelli:

$v^2=v_0^2-2a\Delta{x}$

$v^2=v_0^2-2(19)\Delta{x}$ ; Como $\Delta{x}=\frac{7}{\cos({37})}=8.8m$

$v^2=18.2^2-2(19)\times8.8$

$v^2\approx0$

Assim concluísse que o trajecto AG é seguro.

Agora vamos ver se ele para dentro do trajecto GH

Diagrama de forças:

A Amarelo a Força Normal

A vermelho o Peso

A laranja a força de atrito

$Fr=Fa \Leftrightarrow ma=\mu_cN$

$\Leftrightarrow ma=\mu_cmg$

$\Leftrightarrow a=\mu_cg$

$\Rightarrow a=18.62\:m/s^2$

Calcular a velocidade em G

$Em_F=Em_G$

$\Leftrightarrow mgh_F=\frac{1}{2}mv_G^2$

$\Rightarrow 2\times7\times9.8=v_G^2$

$\Rightarrow v_G=\sqrt{137.2}$

$\Leftrightarrow v_G=11.7\:m/s$

Aplicando a formula de Torricelli:

$v^2=11.7^2-2\times18.62\Delta{x}$ ; Para ele parar a velocidade final tem de ser 0

$37.24\Delta{x}=137$

$\Delta{x}=3.8$

Como $3.8<5$ verificamos que o Sr.Presidente teve uma viagem segura!

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Tags: diverção de obama, montanha russa, movimento circular, obama, Torricelli
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