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Electrões e Planetas

7 01 2010

E se um electrão se comportasse como um planeta descrevendo orbitas circulares em volta do núcleo?

Hoje irei apresentar um pequeno estudo do comportamento do electrão se este descrevesse uma orbita circular envolta do núcleo.

$\sum{F}=Forca\:electrica(F_e)$

$F=F_e$

$\Leftrightarrow F=k\frac{q_1q_2}{R^2}$ Como $q_1=q_2=e$

$F=k\frac{e^2}{R^2}$

Como se trata de um movimento circular $F_e=F_c=m\frac{v^2}{R}$

$m\frac{v^2}{R}=k\frac{e^2}{R^2}$

$\Leftrightarrow v^2=k\frac{e^2}{Rm}$ [1]

Como segunda a mecânica quântica toda a partícula têm um comprimento de onda associado segundo a expressão $\lambda=\frac{h}{p}$

Como o electrão será uma onda estacionaria o seu comprimento de onde será $\lambda=2\pi n$ onde n é um numero natural

Aplicando as 2 formulas:

$2\pi n=\frac{h}{p} \Leftrightarrow p=\frac{h}{2\pi}n$ [2]

Como o electrão descreve uma orbita circular o seu momento é dado por $p=mvR$ aplicando em [2]

$mvR=\frac{h}{2\pi}n$ resolvendo em ordem a v

$v=\frac{h}{2\pi mR}n$ Apicando em [1]

$\frac{h^2}{4{\pi}^2m^2R^2}n^2=k\frac{e^2}{Rm}$ resolvendo em ordem a R

$R=\frac{h^2}{4{\pi}^2mke^2}n^2$ Para n= 1 temos o menor raio da orbital( $R_0$ ) e assim o local mais próximo do núcleo onde poderemos encontrar o electrão.

Substituindo os valores:

$R_0=0.529\times 10^{-8}\quad cm$

Nota:Esta dedução foi feita por Neils Bohr e tratasse de uma explicação semi-clássica do átomo só valida para o átomo de Hidrogénio

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Tags: atomo, Bohr, força electrica, Mecanica quantica, menor raio do atomo, momento circular, raio
Categorias : Mecanica quantica

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