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Será que o Pai Natal existe?

27 01 2010

Olá hoje irei analisar “fisicamente” o Pai Natal!

1 – As crianças.

Existem aproximadamente 2 biliões de crianças (pessoas com menos de 18 anos).

Como o Pai Natal é católico e não visita crianças de outras religiões restam-nos 378 milhões de crianças.

Segundo os censos existem cerca de 4 crianças em cada lar logo:

$\frac{378000000}{4}=94500000$ de lares.

2- Tempo.

Devido ao fuso-horário e á rotação da Terra o Pai Natal têm cerca de 31 horas para entregar todos os presentes.

$31\:h=31\times 60\times 60\:s=111600\:s$

Assim se dividirmos o numero de lares pelo tempo que ele têm para entregar os presentes teremos o número de visitas por segundo.

$\frac{94500000}{111600}=847\:visitas/segundo$

E também que ele só poderá dispender 0.001 segundos para sair do trenó, descer pela chaminé, colocar o presente e voltar ao trenó

3- Velocidade

Admitindo que as casas se encontram uniformemente distribuídas(o que é falso mas é aceitável para a simplificação dos cálculos) e que o Pai Natal só entrega os presentes nos continentes europeu e americano, podemos calcular a distancia entre cada lar.

Área da Europa + Área da América = Área total

$10498000+42189120= 52687120\quad Km$

$\frac{94500000}{52687120}=1.8\:casas/Km$

Assim

$distancia\:percorrida=1.8\times 94500000=1.8\times10^8\quad km$

Como $R_m=\frac{d}{\Delta{t}}$

$\Rightarrow \frac{1.8\times10^8}{111600}=1524.2\quad km/s$

Como num movimento uniforme onde não existe inversão do sentido a rapidez media é igual a velocidade:

$v=1524200\quad m/s$ Assim ele teria de viajar a uma velocidade muito superior ao veiculo mais rápido construído pelo Homem, a sonda espacial Ulisses,
move-se a acanhados 44100 m/s, e uma rena “normal” anda no máximo a 24km/h.

4- Força

Ele viaja a uma velocidade de 1524200 m/s e para ele parar será aplicada uma aceleração contraria ao movimento logo

$v=v_0-at$ Como pára para v=0

$v_0=at$ ; $v_0=1.5\times 10^6$ e $t=0.001\: segundos$

$a=1.5\times 10^9\quad m/s^2$

Admitindo que o Pai Natal tem uma massa de 150 Kg

$F_r=ma=1.5\times 10^9 \times 150=228630000000\quad N$

Com uma força destas o Pai Natal seria esmagado completamente.

4-Conclusão.

Se o Pai Natal existiu está morto.

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O remate de Cristiano Ronaldo!

4 12 2009

Olá pessoal. Hoje irei vos apresentar um pequeno problema relacionado com o futebol e mais concretamente com a nossa estrela O Cristiano Ronaldo!

Como chegar a expressão que nos permite calcular o ângulo com que a bola deve ser batida para que seja golo num livre directo?

Dados:

Distancia da bola à baliza: $x$

Altura da barreira: $y$

Altura a que a bola entra: $z$

Velocidade a que Ronaldo remata a bola: $v_0$

Analisando o esquema podemos concluir que o movimento da bola pode ser composto em 2 componentes uma segundo o eixo dos $xx$ e outra segundo o eixo dos $yy$

Analisemos, agora cada uma dos suas componentes:

Segundo o eixo dos $xx$ não existe nenhuma força a actuar portanto $F_x=ma_x \Leftrightarrow \frac{0}{m}=a_x \Leftrightarrow a_x=0$

Concluimos assim que o movimento no eixo dos $xx$ é uniforme e a sua equação é:

$x=x_0 + v_{0x}{t}$

Segundo o eixo dos $yy$ existe a força peso a actuar, neste caso com sentido negativo, portanto $F_y=ma_y \Leftrightarrow \frac{-P}{m}=a_y \Leftrightarrow a_y=-g$

Agora separemos a velocidade nas suas componentes:

$\vec{v}_0 = \vec{v}_{0x}+ \vec{v}_{0y}$

$v_{0x} = v_o\cos {\alpha}$

$v_{oy} =v_0\sin{\alpha}$

Recorrendo à lei das posições:

Para $x$ :

$x=v_{0x}t \Leftrightarrow x=v_o\cos {\alpha}t$

Para $y$ :

$y=v_{0y}t -\frac{1}{2}{g}{t^2} \Leftrightarrow y=v_0\sin{\alpha}t -\frac{1}{2}{g}{t^2}$

Como o tempo para x e para y têm de ser os mesmos e resolvendo a primeira equação em ordem a t:

$t=\frac{x}{v_0\cos{\alpha}}$ substituindo na equação do y:

$y=x\tan{\alpha} -\frac{1}{2}{g}\frac{x^2}{{v_0}^2\cos^2{\alpha}}$

Como nós queremos a que altura final seja $z$ fica;

$z=x\tan{\alpha} -\frac{1}{2}{g}\frac{x^2}{{v_0}^2\cos^2{\alpha}}$ ; $\tan^2{\alpha}+1=\frac{1}{\cos^2{\alpha}}$

$z=x\tan{\alpha} -\frac{1}{2}{g}x^2(1+\tan^2{\alpha})$ ; fazendo $k=\frac{1}{2}{g}\frac{x^2}{{v_0}^2}$

$z=x\tan{\alpha} -k-k\tan^2{\alpha}$ ; Fazendo $-k-z=C$ e aplicando a formula resolvente vem:

$\tan{\alpha}=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-{4}{-k}{C}}}{-{k}{C}}$

$\alpha =\arctan({\frac{-x\pm\sqrt{x^2-{4}{-k}{C}}}{-{k}{C}}})$

E assim podemos calcular o angulo com que ele remata a bola desde que saibamos a a distância à baliza, a altura a que a bola entra e a velocidade com que ele a rematou.

Nota: Para o angulo ser o correcto temos de verificar se com esse angulo a bola passa a cima da barreira, utilizando as formulas:

Para $x$ :

$x=v_{0x}t \Leftrightarrow x=v_o\cos {\alpha}t$

Para $y$ :

$y=v_{0y}t -\frac{1}{2}{g}{t^2} \Leftrightarrow y=v_0\sin{\alpha}t -\frac{1}{2}{g}{t^2}$

Sendo x a distancia da barreira e y a altura da barreira.

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Leis dos Movimentos. (2ª Parte)

30 11 2009

Olá agora irei vos apresentar as equações que regem o movimento rectilíneo uniforme mente variado.

Imaginemos agora um corredor dos 100 metros, ele inicia a corrida com um movimento acelerado até atingir a velocidade máxima aos 80 m, passando, ai, a efectuar um movimento uniforme até final da corrida. Como poderemos calcular o tempo que demorou a percorrer os 100 m

A fórmula para calcular a aceleração média é:

$\vec{a_{m}} = \frac{\vec{v}-\vec{v_{0}}}{{\Delta}{t}}$

Resolvendo em ordem à velocidade final ( $\vec{v}$ ) fica

$\vec{v} = \vec{v_{0}}+\vec{a_{m}}{\Delta}{t}$ ;

No limite quando ${\Delta}{t}$ tende para 0

$\vec{v}(t) = \vec{v_{0}}+\vec{a}{t}$

Sabendo que $\frac{d{\vec{r}}}{dt}=\vec{v}$ basta fazer a operação inversa, isto é, integrar, para obter a expressão que nos permite calcular a lei das posições quando existe movimento uniformemente variado.

$\vec{r}(t)= \int \vec{v}{}{dt}=\int (\vec{v_{0}}+\vec{a}{t}){dt} =\int \vec{v_{0}}{dt}+\int \vec{a}{t}{dt} =\vec{v_{0}}{t} + {c_{1}} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2} +{c_{2}}=$

$=\vec{v_{0}}{t} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2} +{C}$ fazendo t = 0 vem

$\vec{r}(0)=\vec{v_{0}}{0} +\frac{\vec{a}{0^2}}{2} +{C}$

$= \vec{r}(0)= {C}$ logo concluísse que C é igual à posição inicial ou seja

$\vec{r}(t)= \vec{r_{0}} + \vec{v_{0}}{t} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2}$

E assim chegamos a equação que nos permite calcular o tempo na primeira parte do movimente ou seja até aos 80m.

Para o movimento a partir dos 80m basta utilizar a equação deduzida no post anterior (para ver o post clique aqui .)

$\vec{r} = \vec{r_{0}} + \vec{v}{t}$

Assim o tempo que o atleta demora a percorrer os 100 m e dado por:

$\vec{r}_{total}= \vec{r}_{0/80}+\vec{r}_{80/100} \Leftrightarrow$

$\vec{r}_{total} = \vec{r_{0}} + \vec{v_{0}}{t} +\frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{v}_{80}{t}$

Como $\vec{r_{0}} = 0$ e $\vec{v_{0}} = 0$

$\vec{r}_{total} = \frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{v}_{80}{t}$ [1]

Da lei das velocidades vem:

$\vec{v}(t) = \vec{v_{0}}+\vec{a}{t}$ aplicando no contexto do problema;

$\vec{v}_{80}=\vec{a}{t}$ substituindo em [1];

$\vec{r}_{total} = \frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{a}{t}{t}$

$\vec{r}_{total} = \frac{\vec{a}{t^2}}{2} + \vec{r_{80}} + \vec{a}{t^2}$

$\vec{r}_{total}=\vec{r_{80}}+\frac{{3}\vec{a}{t^2}}{2}$ como $\vec{r}_{total}= 100$ e $\vec{r}_{80}= 80$

$100=80+\frac{{3}\vec{a}{t^2}}{2} \Leftrightarrow 20=\frac{{3}\vec{a}{t^2}}{2}\Rightarrow$

$t=\sqrt{\frac{40}{{3}{\vec{a}}}}$ Assim, chegamos a expressão que nos permite calcular o tempo que o atleta demora a percorrer os 100m

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Leis do Movimento. (1ª Parte)

5 11 2009

Olá a todos, neste artigo irei apresentar-vos algumas das principais equações da dinâmica no movimento rectilíneo uniforme.

Imaginemos uma aranha uma parede de uma casa. Como a poderíamos localizar?

aranha

Para responder a está pergunta os físicos utilizam um mecanismo matemático chamado referencial. Ora veja…

aranha(r)

Este referencial tem origem no canto inferior esquerdo da janela, e podemos ver que a aranha se encontra na posição (3,1)

Agora imaginemos que a aranha começa a deslocar-se, a uma velocidade constante , até que ao fim de algum tempo para. Como podemos saber a sua nova posição?

aranha(velocidade)

Sabemos que a velocidade é dada por:

$\vec{v_{m}} = \frac{\vec{r}-\vec{r_{0}}}{{\Delta}{t}}$ ; reescrevendo a formula em ordem a $\vec{r}$

$\vec{r} = \vec{r_{0}} + \vec{v_{m}}{\Delta}{t}$ ; no limite $\vec{v_{m}} = \vec{v}$ e ${\Delta}{t} = t$

$\vec{r} = \vec{r_{0}} + \vec{v}{t}$

Assim chegamos à equação que nós permite responder a esse pergunta.

Por exemplo: Admitamos que a aranha se encontra na na posição (3,1) segundo o referencial de cima, e se deslocou durante 5 segundos com uma velocidade constante de $\vec{v} =3 \vec{\imath} +3\vec{\jmath}$