Lei de Hooke « Words' of Physic

Salto para a piscina!

23 12 2009

Olá aqui vai mais um problema. Desta vez o problema consiste em calcular a distancia a que um nadador ao saltar da prancha alcança na piscina.

Dados:

Massa do nadador, $m$

Altura de $A$ , $3,5\:metros$

Altura de $B$ em relação a $A$ , $0.5\:metros$

Distancia entre $A$ e $B$ é $x$

O ângulo A^B é $\alpha$

Sabemos que o nadador efectua um primeiro salto, sem balançar a prancha, até à altura $C$ e que logo após da posição $B$ passa a estar em movimento de projéctil.

Comecemos por calcular $x$

$Energia\: mecanica\:em\:C=Energia\: mecanica\:em\:B$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}mv^2_C+mgh_C= \frac{1}{2}mv^2_B+mgh_B$ como $v_C=0$

$\Rightarrow mgh_C=\frac{1}{2}mv^2_B+mgh_B$ ; $h_C=0.5\:metros$

$\Rightarrow 0.5g=\frac{1}{2}v^2_B+gh_B$ ; Distancia $AB$ é $x$ e como o referencial tem origem em $A$

$\Rightarrow 0.5g=\frac{1}{2}v^2_C-gx$

$\Leftrightarrow 0.5g+gx=\frac{1}{2}v^2_B$

$\Leftrightarrow g(0.5+x)=\frac{1}{2}v^2_B$

$\Leftrightarrow 0.5+x=\frac{1}{2g}v^2_B$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2g}v^2_B-0.5$ [1]

A prancha irá se comportar como uma mola e por consequência irá obedecer à lei de Hooke.

$F=-kx\quad com\;x=distancia\:A\:B$ aplicando [1]

$F=-k(\frac{1}{2g}v^2_B-0.5)$

$\Leftrightarrow F=k(0.5-\frac{1}{2g}v^2_B)$ Como $F_{resultante}=F$

$\Rightarrow ma=k(0.5-\frac{1}{2g}v^2_B)$

$\Leftrightarrow a=\frac{k}{m}(0.5-\frac{1}{2g}v^2_B)$ [2] utilizando a lei das velocidades (ver post aqui)

$\Rightarrow v=v_{A2}+at_1$ [3] sendo $v_{A2}$ a velocidade em A depois de passar em $C$

Calcular a velocidade $v_{A2}$

$Energia\:mecanica\:em\:C=Energia\:mecanica\:em\:A$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}mv^2_C+mgh_C=\frac{1}{2}mv^2_{A2}+mgh_A$ como $h_A=0$

$\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2_C+mgh_C=\frac{1}{2}mv^2_{A2}$ ; $v_C=0$

$\Rightarrow mgh_C=\frac{1}{2}mv^2_{A2}$

$\Leftrightarrow gh_C=\frac{1}{2}v^2_{A2}$

$\Rightarrow 0.5g=\frac{1}{2}v^2_{A2}$

$\Leftrightarrow 2(0.5g)=v^2_{A2}$

$\Leftrightarrow g=v^2_{A2}$

$\Rightarrow v_{A2}=\sqrt{g}$ aplicando em [3]

$\Rightarrow v=\sqrt{g}+at_1$ [4] sento $t_1$ o tempo de aplicação da força $F$

Como logo após a posição B ele passa a estar em movimento de projéctil:

$x=x_0+v_{0x}t$

$\Leftrightarrow x=x_0+v\cos({\beta})t$ [5] sendo $\beta$ o ângulo da velocidade.

Calcular o ângulo $\beta$

*ver nota

Pela analise da imagem concluísse que $\beta=90-\alpha$ aplicando em [5]

$x=x_0+v\cos({90-\alpha})t$

Até agora apenas analisamos o movimento em x analisando agora em y:

$y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}{g}{t^2}$

$\Rightarrow 3.5=v\sin({90-\alpha})t-\frac{1}{2}{g}{t^2}$ como $\sin({90-\alpha})=\cos({\alpha})$

$\Leftrightarrow 3.5=v\cos({\alpha})t-\frac{1}{2}{g}{t^2}$

Aplicamos a formula resolvente para obter o t, eu por uma questão de simplificação vou chamar a solução positiva Z

Aplicamos agora na equação de x

$x=x_0+v\cos({90-\alpha})Z$ como $\cos({90-\alpha})=\sin({\alpha})$

$x=x_0+v\sin({\alpha})Z$ ; $x_0=0$

$x=v\sin({\alpha})Z$ aplicando [4]

$x=(\sqrt{g}+at_1)\sin({\alpha})Z$ Como $a=\frac{k}{m}(0.5-\frac{1}{2g}v^2_B)$ equação [2]

$x=(\sqrt{g}+[\frac{k}{m}(0.5-\frac{1}{2g}v^2_B)]t_1)\sin({\alpha})Z$

E assim chegamos à expressão que nos da a distancia a que ele mergulha na piscina!

Nota: A azul está representado o vector velocidade.

Comentários : Deixar um Comentário »
Tags: impulção, jogos olimpicos, Lei de Hooke, mergulho, molas, nadador, piscina, salto
Categorias : Lei de Hooke, Projecteis

Words' of Physic

Salto para a piscina!

Páginas

Arquivo

Blogroll

Categorias

Follow “Words' of Physic”